钉形水泥搅拌桩是基于双向搅拌技术[1]形成的变截面搅拌桩，由上部扩大头和下部小直径搅拌桩两部分组成。它克服了传统水泥搅拌桩(DCM桩)施工质量难控制、承载力较低和沉降较大的缺陷，在我国得到了广泛应用。
国内外学者对这种新型水泥搅拌桩复合地基的承载机理和沉降特性进行了大量研究。刘松玉团队通过室内外试验发现：钉形搅拌桩的桩体质量好于DCM桩，单桩和复合地基的承载力远大于后者，它们随扩大头长度和直径的增加而增大，刚性基础下钉形搅拌桩的破坏模式是扩大头以下小直径搅拌桩体的破坏[2-5]。刘松玉团队对路堤下钉形搅拌桩复合地基和DCM桩复合地基的沉降、桩-土荷载分担、超静孔隙水压力和坡脚处的水平位移的比较发现：钉形搅拌桩分担的路堤荷载更多，钉形搅拌桩复合地基的沉降、水平位移和超静孔隙水压力均小于DCM桩复合地基[6-8]。易耀林等采用三维有限差分法分析了刚性基础下钉形搅拌桩复合地基的荷载传递规律，比较了刚、柔性基础下钉形搅拌桩复合地基中附加应力分布和沉降特性[9-11]。Phutthananon等采用轴对称有限元法，研究了等体积条件下钉形搅拌桩的单桩极限承载力和破坏模式[12]。
关于钉形搅拌桩复合地基设计理论的研究才刚刚开始。易耀林等建议将钉形搅拌桩简化为直径为扩大头直径的常规水泥搅拌桩来计算复合地基承载力并提出计算钉形搅拌桩复合地基沉降的“广义承台法”[3,13]。目前，尚未见到钉形搅拌桩复合地基固结分析方法的研究成果报道。因此，本研究通过建立钉形搅拌桩复合地基固结解析解，分析这种新型复合地基的固结特性。
1 固结模型和基本假定
在钉形搅拌桩复合地基中选取单桩和其加固范围土体建立轴对称固结模形，如图1所示。桩打穿软土，总长度为H，单桩影响区的半径为re，即r(=re)为单个钉形搅拌桩径向有效加固边界。上部扩大头的长度和半径分别为H1和rp1，下部小直径搅拌桩的长度和半径分别为H2和rp2，其置换率为m=(rp2/re)2。扩大头与下部搅拌桩直径比为ρ=rp1/rp2，称作“大头扩径比”。根据扩大头高度将整个加固区划分为上、下两层，各层厚度分别为H1和H2。上加固区桩间土的压缩模量、竖向渗透系数和固结系数分别为Es1、kv1和cv1，下加固区桩间土的压缩模量、竖向渗透系数和固结系数分别为Es2、kv2和cv2。钉形搅拌桩的压缩模量为Ep。复合地基表面上作用均布荷载p。
图1 固结模型
Fig.1 Consolidation model
本文推导中采用如下假定：
1)匀质桩间土完全饱和，土颗粒和水均不可压缩，孔隙水的渗流符合Darcy定律。
2)钉形搅拌桩为不排水桩，荷载作用下桩体内不产生超静孔隙水压力。
3)下部小直径搅拌桩外侧扩大头以下土体的竖向渗流受到阻碍，仅发生径向渗流。
4)任意深度处桩和土的竖向应变相等。
5)不考虑施工对桩间土体的扰动，固结过程中土的渗透、压缩和固结系数保持不变。
6)大面积均布荷载p瞬时施加，在待加固天然地基中引起的竖向附加应力σ沿深度不变。
2 固结方程的建立
2.1 上层桩间土的固结方程
根据复合材料力学理论，地基中的竖向附加应力σ是桩与桩间土组成的复合地基的平均应力。在上部加固区，它由桩间土和搅拌桩扩大头两者共同承担，则有：
(1)
式中:
和
分别为上部加固区中任意深度z处桩间土和搅拌桩扩大头中的竖向平均总应力；mρ2为上层土中扩大头的置换率。
由桩与土的竖向应变相等假设，有：
(2)
式中:
为深度z处桩间土中的平均超静孔隙水压力；εv为深度z处的竖向应变。
由式(1)和式(2)，得：
(3)
其中 Ecs1=mρ2Ep+(1-mρ2)Es1
式中:Ecs1为上部加固区复合土的压缩模量，即上部加固区的复合压缩模量。
对式(3)两边求关于时间的偏导数：
(4)
由达西渗透定律和桩间土质量守恒定律，可得：
(5)
式中：γw为水的重度。
由式(4)和式(5)得到上层土的固结方程如下：
(6)
其中
式中：cv1c为上层桩间土的等效竖向固结系数，它考虑了扩大头对固结的影响。
2.2 下层桩间土的固结方程
在下层桩间土中任一深度z处，沿径向将桩间土划分为图2所示厚度dz的两个单元：A单元位于扩大头以下，圆环状截面，其内半径等于扩大头以下DCM桩的半径rp2，外半径等于扩大头的半径rp1，横截面积和体积分别为
和VA=As1dz，A单元土体仅发生向外的径向渗流；B单元位于上层桩间土的正下方，横截面也是圆环，其内、外半径分别为rp1和re，横截面积和体积分别为
和
单元接受从A单元径向流出的水流。
图2 A和B单元之间的渗流关系
Fig.2 Seepage relationship between element A and B
根据Lorenzo 等的研究[14]，有：
(7)
(8)
式中：qh和qs分别为A单元和B单元单位时间内径向和竖向排出的孔隙水量。
将式(7)和式(8)相加，得：
(9)
根据复合材料力学理论，下部加固区任意深度z处的竖向附加应力σ由该深度处桩间土和小直径搅拌桩两者共同承担，有：
(10)
式中：
和
分别为深度z处桩间土和搅拌桩中的竖向平均总应力。
由等竖向应变假定，有：
(11)
式中：
为下层桩间土中任意深度z处的平均超静孔隙水压力。
由式(10)和式(11)可得：
(12)
其中 Ecs2=(1-m)Es2+mEp
式中：Ecs2是复合地基下部加固区的复合压缩模量。
对式(12)两边求时间t的偏导，有：
(13)
由于
则由式(9)和式(13)，有：
(14)
由达西定律可得：
(15)
将式(14)代入式(15)，注意到As2/As=(1-mρ2)/(1-m)，得到下层桩间土固结控制方程：
(16)
其中
式中：cv2c为下层桩间土的等效竖向固结系数，考虑了下部小直径搅拌桩对固结速率的影响。
3 固结解析解
3.1 固结方程的定解条件
考虑单面排水情况，即钉形搅拌桩复合地基顶面排水底面不排水，前述固结方程的求解条件如下：
1)竖向边界条件。
(17)
(18)
2)上、下加固区分界面处土体水流连续性条件。
(19)
3)上、下加固区分界面处孔压连续性条件。
由于复合地基上、下部加固区的平均超静孔隙水压力分别为
和
则上、下加固区分界面处孔压连续性条件为：
(20)
4)初始条件。
由于荷载瞬时施加，由式(3)和式(12)可得初始条件为：
(21)
(22)
3.2 固结方程与求解条件的函数变换
为便于在定解条件式(17)～(22)下求解固结方程式(式(6)和式(16))，引入如下函数变换：
(23)
将式(23)代入式(6)、(16)和式(17)～(22)，则固结控制方程和求解条件变为如下形式：
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
3.3 固结解析解
式(23)表明：变换后的固结方程式(式(24))及其定解条件(式(25)～(28))实际上是针对上、下两层加固区复合土层组成的系统建立的，其固结系数分别为cv1c和cv2c。方程和定解条件形式上与瞬时加荷的双层地基固结问题完全相同。
为了简化列式，定义如下4个无量纲参数：
(29)
利用谢康和双层地基一维固结解[15]，可得：
(30)
(31)
其中
则λn为以下超越方程的根：
(32)
将式(30)和式(31)代入式(23)，即可得到钉形搅拌桩复合地基上、下层桩间土中的平均超静孔隙水压力：
(33)
(34)
将钉形搅拌桩复合地基视为由上、下两层复合土组成，则根据这两层中的平均超静孔压
和
得到按沉降和按超静孔压定义的钉形搅拌桩复合地基整体平均固结度Us和Up[15]：
(35)
(36)
4 算例验证
假设地基土厚度H=16 m。钉形搅拌桩扩大头长度和半径分别为H1=4 m和rp1=0.5 m，下部搅拌桩的长度和半径分别为H2=12 m和rp2=0.25 m。单桩影响区半径re=1.2 m，相应的下部搅拌桩置换率和大头扩径比分别为m=0.04和ρ=2。地基土为均质软土。为评价固结解析解对不同刚度基础下钉形搅拌桩复合地基固结分析的适用性，采用有限元法对刚性基础和柔性基础下的复合地基固结进行分析。复合地基上铺设0.5 m厚的混凝土板来模拟刚性基础，板下有0.3 m厚的砂垫层。为模拟路堤这样的柔性基础，混凝土板下铺设了3 m厚的砂垫层，计算中不考虑混凝土板和砂垫层的自重。混凝土板上外荷载p=100 kPa瞬时施加。地基土、砂垫层和钉形搅拌桩的压缩模量、泊松比和渗透系数见表1。
算例的数值模拟采用ABAQUS有限元软件。建立轴对称有限元固结分析模型，左、右侧边界上径向位移受到约束，不排水。模型底部径向和竖向方向的位移都被约束，不排水。复合地基表面自由，排水。所有材料均采用线弹性模型。混凝土板的弹性模量和泊松比分别为20 GPa和0.17，其他材料的弹性模量E可由其压缩模量E1和泊松比μ按E=(1+μ)(1-2μ)E1/(1-μ)估算。钉形搅拌桩和混凝土板采用4结点四边形单元(CAX4)离散，桩间土和砂垫层采用应力-孔压耦合4结点四边形单元(CAX4P)离散。刚、柔性基础下复合地基有限元模型中单元总数分别为2 184和2 535个，结点总数分别为2 366和2 744个。图3为刚性基础下钉形搅拌桩复合地基有限元网格图。
表1 材料模型参数
Table 1 Material model parameters
材料压缩模量/MPa泊松比渗透系数/(m·s-1)桩 1200.25—地基土30.3510-8砂垫层200.305.8×10-6
图3 有限元网格
Fig.3 Finite element mesh
图4给出解析解和有限元法计算获得的Us-Tu 曲线的比较，横坐标采用无量纲时间因数Tu=cvt/H2其中cv=Eskv/γw，Es和kv分别为桩间土的压缩模量和竖向渗透系数。从图4可以发现：仅在固结前期(t<47 d)，解析解与有限元解不同，47天以后，解析解与刚、柔性基础时的有限元解的固结度曲线近乎重合。在固结前期，有限元计算的柔性基础下复合地基固结度较之刚性基础下的固结度要大，解析解与刚性基础下的有限元解更为接近，两者最大差值约7%。解析解与柔性基础下复合地基有限元解相差相对较大，两者最大差值为9.5%。这是由于解析解是基于桩土等应变假设建立的，而路堤下钉形搅拌桩复合地基中桩和桩间土的竖向应变并不相等。总的来看，解析解具有足够的计算精度。
— 解析解；
— FEM(刚性基础)；
— FEM(柔性基础)。
图4 固结度解析解与有限元解的比较
Fig.4 Comparison of Us-Tu curves by the proposed solution with FEM
5 复合地基固结性状
5.1 与DCM桩复合地基固结速率的比较
图5给出钉形搅拌桩与DCM桩加固地基的固结度曲线的比较，后者根据卢萌盟等的解析解[16]计算得到。计算中采用与上面算例相同几何和材料力学参数。图5清楚地表明：搅拌桩头的扩大会降低复合地基的固结速率。
— 卢萌盟解；— 本文解。
图5 两种复合地基固结速率的比较
Fig.5 Comparison of consolidation rates of the two kinds of composite ground
5.2 复合地基固结特性
采用的基准参数如下：H=16 m，H1=4 m，m=0.04，ρ=2，Es1=Es2=Es=3 MPa，Ep=120 MPa，kv1=kv2=kv=10-8 m/s。
在图6中绘出不同桩体压缩模量下钉形搅拌桩复合地基Us-Tu曲线，这里的 Tu=cv1t/H2。图6表明：钉形搅拌桩复合地基的固结速率受其自身刚度的影响，当桩身的刚度越大，钉形搅拌桩复合地基的固结越快。
— Ep=90 MPa；
— Ep=120 MPa；
— Ep=150 MPa；
— Ep=200 MPa；
— Ep=250 MPa。
图6 Ep对固结速率的影响
Fig.6 Influence of Ep on the consolidation rate
— m=0.02；
— m=0.04；— m=0.06；— m=0.08；— m=0.10。
图7 m对固结速率的影响
Fig.7 Influence of m on the consolidation rate
图7给出扩大头下面小直径搅拌桩置换率m取不同数值时复合地基的固结度曲线。从中可见：提高下部小直径搅拌桩的置换率可增大钉形搅拌桩复合地基的固结速率。
从图8给出的大头扩径比ρ对钉形搅拌桩复合地基固结速率的影响曲线可见：ρ的数值越大，表示上部扩大头的直径越大，钉形搅拌桩复合地基的固结速率随之减小，但减幅并不大。
— ρ=1.3；— ρ=1.5；— ρ=1.8；— ρ=2.0；— ρ=2.2。
图8 ρ对固结速率的影响
Fig.8 Influence of ρ on the consolidation rate
从图9给出不同扩大头长度H1情况下钉形搅拌桩复合地基的固结度曲线可见：钉形搅拌桩复合地基固结速率随扩大头长度的增加呈现先减小后增大的规律：当H1<4 m时，复合地基的固结速率随扩大头长度的增加而减小，但减小的幅度较小；当H1>4 m后，复合地基的固结速率随H1的增加开始逐渐变大。当H1≤0.5H时，H1的变化对复合地基固结速率的影响较小，但H1>0.5H后，增大扩大头的长度，复合地基的固结速率会快速增大。
— H1=2 m；
— H1=3 m；— H1=4 m；— H1=5 m；— H1=6 m；— H1=8 m；
— H1=10 m；
— H1=14 m。
图9 H1对固结速率的影响
Fig.9 Influence of H1 on the consolidation rate
为研究下层桩间土的刚度对钉形搅拌桩复合地基固结速率的影响，计算出不同下、上层桩间土压缩模量比Es2/Es1情况下钉形搅拌桩复合地基固结度曲线(图10)。从图10可见：扩大头以下桩间土的刚度越大，钉形搅拌桩复合地基的固结越快。
图10 
— Es2/Es1=1；— Es2/Es1=3；
— Es2/Es1=5；
— Es2/Es1=7；— Es2/Es1=10。
图10 Es2/Es1对固结速率的影响
Fig.10 Influence of Es2/Es1 on the consolidation rate
6 结束语
1) 建立的钉形搅拌桩复合地基一维固结解析解具有足够的计算精度。
2) 搅拌桩桩头的扩大使复合地基的固结速率变小。
3) 增加钉形搅拌桩桩体的刚度、扩大头以下小直径搅拌桩的置换率和其周围土体的刚度，钉形搅拌桩复合地基的固结速率随之增大。
4)扩大头直径的增加会小幅减小钉形搅拌桩复合地基的固结速率；扩大头长度不超过桩长的一半时，复合地基固结速率对扩大头长度的变化不敏感；扩大头的长度超过桩长一半以后，钉形搅拌桩复合地基的固结速率随扩大头长度的增加显著增大。
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